Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik Mathematik I Aufgabe A2 Aufgabe 4

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Das Parallelogramm

O P_{3} Q_{3} R_{3}

ist eine Raute. Diese wird durch die Pfeile

\vec{O P_{3}}

und

\vec{O R_{3}}

aufgespannt.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

φ

. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe A2.4

Wurzelgleichungen

Laut Teilaufgabe A 2.2 gilt:

\bar{O P_{n}} = \sqrt{3, 75 \cdot \cos^{2} φ - \cdot \cos φ + 4, 25}

\Rightarrow

\bar{O P_{3}} = \sqrt{3, 75 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4, 25}

Laut Teilaufgabe A 2.3 gilt:

\bar{O R_{n}} = 3

\Rightarrow

\bar{O R_{3}} = 3

Das Parallelogramm

O P_{3} Q_{3} R_{3}

ist eine Raute, also gilt:

\bar{O P_{3}} = \bar{O R_{3}}

\sqrt{3, 75 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4, 25} = 3

|

Quadrieren

3, 75 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ + 4, 25 = 9

|

- 9

3, 75 \cdot \cos^{2} φ - 8 \cdot \cos φ - 4, 75 = 0

|

Ersetzung:

\cos φ = x

3, 75 x^{2} - 8 x - 4, 75 = 0

|

Mitternachtsformel anwenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot b}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3, 75 \cdot 4, 75}}{2 \cdot 3, 75}

x_{1, 2} = \frac{8 \pm \sqrt{135, 25}}{7, 5}

Rückersetzung:

\cos φ = x_{1}

\cos φ = \frac{8 - \sqrt{135, 25}}{7, 5}

Winkel berechnen

Um den Winkel

φ

aus

\cos φ = \frac{8 - \sqrt{135, 25}}{7, 5}

zu bestimmen, wird folgendes im Taschenrechner (TR) eingegeben:

TR:

\frac{8 - \sqrt{135, 25}}{7, 5}

\to

SHIFT

\to

\cos

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (\frac{8 - \sqrt{135, 25}}{7, 5}) = 118, 94^{\circ}

Bemerkung:

x_{2} = \frac{8 + \sqrt{135, 25}}{7, 5}

wird verworfen, da

\frac{8 + \sqrt{135, 25}}{7, 5} = 2, 62

und der Kosinus eines Winkels höchstens den Wert 1 haben kann.

Lösungen zu:

Aufgabe A2.1

Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

Aufgabe A2.4

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Themen dieser Aufgabe:

Wurzelgleichungen

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