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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2015 Mathematik I Aufgabe A1


 
Aufgabe A1.2  (3 Punkte)
Die Figuren A B n C D , die durch die Strecken [ A D ] , [ A B n ] und [ B n C ] sowie durch den Kreisbogen D C begrenzt sind, rotieren um die Gerade A M .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für das Volumen V der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von φ gilt: V ( φ ) = 16 3 π ( 4 tan 2 φ - 1 )  cm 3 .
 
Lösung zu Aufgabe A1.2

Volumen des Rotationskörpers ermitteln
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V Kegel = 1 3 r 2 π h
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V Kegel = 1 3 M B n ¯ 2 π 4
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Zwischenrechnung: tan φ = M B n ¯ 4 M B n ¯ = 4 tan φ
V Kegel = 1 3 ( 4 tan φ ) 2 π 4 = 64 3 π tan 2 φ

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V Halbkugel = 1 2 4 3 r 3 π = 2 3 2 3 π

V Rotationskörper = V Kegel - V Halbkugel

V Rotationskörper = 64 3 π tan 2 φ - 16 3 π = 16 3 π ( 4 tan 2 φ - 1 )

V Rotationskörper = 16 3 π ( 4 tan 2 φ - 1 )  cm 3

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