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Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2
Aufgabe A2.

Das gleichschenklige Trapez A B C D hat die parallelen Seiten [ A B ] und [ C D ] mit A B ¯ = 16 cm und C D ¯ = 9 cm . Der Mittelpunkt der Seite [ C D ] ist der Punkt E , der Mittelpunkt der Seite [ A B ] ist der Punkt F . Es gilt: E F ¯ = 7 cm .
Das gleichschenklige Trapez A B C D ist die Grundfläche einer Pyramide A B C D S , deren Spitze S senkrecht über dem Punkt E liegt. Es gilt: E S ¯ = 10 cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe A2.1  (2 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide A B C D S , wobei die Punkte E und F auf der Schrägbildachse liegen sollen.
Für die Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 ∘ .

Aufgabe A2.2  (2 Punkte)

Berechnen Sie das Maß φ des Winkels S F E und die Länge der Strecke [ S F ] .
[Ergebnisse: φ = 55 , 01 ∘ ; S F ¯ = 12 , 21 cm]

Aufgabe A2.3  (1 Punkt)

Punkte M n liegen auf der Strecke [ S F ] . Die Punkte M n sind die Mittelpunkte der Trapezseiten [ P n Q n ] von Trapezen D C Q n P n mit P n ∈ [ A S ] und Q n ∈ [ B S ] . Die Winkel F E M n haben das Maß ε mit ε ∈ [ 0 ∘ , 90 ∘ [ .
Zeichnen Sie das Trapez D C Q 1 P 1 für ε = 65 ∘ in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Aufgabe A2.4  (3 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken [ S M n ] in Abhängigkeit von ε gilt:
S M n ¯ ( ε ) = 10 ⋅ cos ε sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) cm.

Aufgabe A2.5  (5 Punkte)

Das Trapez D C Q 2 P 2 ist ein Rechteck.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß ε .
[Teilergebnis: P n Q n ¯ ( ε ) = 13 , 10 ⋅ cos ε sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) cm]

Aufgabe A2.6  (4 Punkte)

Unter den Höhen [ E M n ] der Trapeze D C Q n P n hat die Höhe [ E M 0 ] des Trapezes D C Q 0 P 0 die minimale Länge.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß ε .
Ermitteln Sie sodann durch Rechnung, in welchem Verhältnis das Volumen der Pyramide A B C D S durch die von den Eckpunkten des Trapezes D C Q 0 P 0 festgelegte Ebene geteilt wird.

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