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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.5  (5 Punkte)
Das Trapez D C Q 2 P 2 ist ein Rechteck.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß ε .
[Teilergebnis: P n Q n ¯ ( ε ) = 13 , 10 ⋅ cos ε sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) cm]
 
Lösung zu Aufgabe A2.5

Seite eines Dreiecks bestimmen
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Betrachtet werden die Dreiecke A B S und P n Q n S mit A B ¯ = 16 cm , S F ¯ = 12 , 21 cm und S M n ¯ = 10 ⋅ cos ε sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) cm.

Mit dem Vierstreckensatz wird die Länge der Strecke [ P n Q n ] bestimmt:


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P n Q n ¯ A B ¯ = S M n ¯ S F ¯
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P n Q n ¯ A B ¯ = S M n ¯ S F ¯

P n Q n ¯ 16 = 10 ⋅ cos ε 12 , 21 ⋅ sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) | ⋅ 16

P n Q n ¯ = 16 ⋅ 10 ⋅ cos ε 12 , 21 ⋅ sin ( 55 , 01 ∘ + ε )


⇒ P n Q n ¯ ≈ 13 , 10 ⋅ cos ε sin ( 55 , 01 ∘ + ε )

Winkel bestimmen
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Das Trapez D C Q 2 P 2 ist ein Rechteck.
Es muss also gelten: D C ¯ = P 2 Q 2 ¯


9 ︸ D C ¯ = 13 , 10 ⋅ cos ε sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) ︸ P n Q n | ⋅ sin ( 55 , 01 ∘ + ε )


9 ⋅ sin ( 55 , 01 ∘ + ε ) = 13 , 10 ⋅ cos ε | Additionstheorem anwenden
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9 ⋅ ( sin 55 , 01 ∘ ⋅ cos ε + cos 55 , 01 ∘ ⋅ sin ε ) = 13 , 10 ⋅ cos ε | Klammer auflösen

9 ⋅ sin 55 , 01 ∘ ⋅ cos ε + 9 ⋅ cos 55 , 01 ∘ ⋅ sin ε = 13 , 10 ⋅ cos ε | - 9 sin 55 , 01 ∘ ⋅ cos ε

9 ⋅ cos 55 , 01 ∘ ⋅ sin ε = 13 , 10 ⋅ cos ε - 9 sin 55 , 01 ∘ ⋅ cos ε | cos ε ausklammern
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9 ⋅ cos 55 , 01 ∘ ⋅ sin ε = cos ε ⋅ ( 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 ∘ ) | : ( cos ε ) ︸ ≠ 0
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9 ⋅ cos 55 , 01 ∘ ⋅ sin ε cos ε ︸ tan ε = 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 ∘ | : ( 9 ⋅ cos 55 , 01 ∘ )

tan ε = 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 ∘ 9 ⋅ cos 55 , 01 ∘
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ε = tan - 1 ( 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 ∘ 9 ⋅ cos 55 , 01 ∘ )

⇒ ε ≈ 47 , 97 ∘

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