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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.5  (5 Punkte)
Das Trapez D C Q 2 P 2 ist ein Rechteck.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß ε .
[Teilergebnis: P n Q n ¯ ( ε ) = 13 , 10 cos ε sin ( 55 , 01 + ε ) cm]
 
Lösung zu Aufgabe A2.5

Seite eines Dreiecks bestimmen
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Betrachtet werden die Dreiecke A B S und P n Q n S mit A B ¯ = 16 cm , S F ¯ = 12 , 21 cm und S M n ¯ = 10 cos ε sin ( 55 , 01 + ε ) cm.

Mit dem Vierstreckensatz wird die Länge der Strecke [ P n Q n ] bestimmt:


Schritt einblenden / ausblenden
P n Q n ¯ A B ¯ = S M n ¯ S F ¯
Schritt einblenden / ausblenden
P n Q n ¯ A B ¯ = S M n ¯ S F ¯

P n Q n ¯ 16 = 10 cos ε 12 , 21 sin ( 55 , 01 + ε ) | 16

P n Q n ¯ = 16 10 cos ε 12 , 21 sin ( 55 , 01 + ε )


P n Q n ¯ 13 , 10 cos ε sin ( 55 , 01 + ε )

Winkel bestimmen
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Das Trapez D C Q 2 P 2 ist ein Rechteck.
Es muss also gelten: D C ¯ = P 2 Q 2 ¯


9 D C ¯ = 13 , 10 cos ε sin ( 55 , 01 + ε ) P n Q n | sin ( 55 , 01 + ε )


9 sin ( 55 , 01 + ε ) = 13 , 10 cos ε | Additionstheorem anwenden
Schritt einblenden / ausblenden
9 ( sin 55 , 01 cos ε + cos 55 , 01 sin ε ) = 13 , 10 cos ε | Klammer auflösen

9 sin 55 , 01 cos ε + 9 cos 55 , 01 sin ε = 13 , 10 cos ε | - 9 sin 55 , 01 cos ε

9 cos 55 , 01 sin ε = 13 , 10 cos ε - 9 sin 55 , 01 cos ε | cos ε ausklammern
Schritt einblenden / ausblenden
9 cos 55 , 01 sin ε = cos ε ( 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 ) | : ( cos ε ) 0
Schritt einblenden / ausblenden
9 cos 55 , 01 sin ε cos ε tan ε = 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 | : ( 9 cos 55 , 01 )

tan ε = 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 9 cos 55 , 01
Schritt einblenden / ausblenden
ε = tan - 1 ( 13 , 10 - 9 sin 55 , 01 9 cos 55 , 01 )

ε 47 , 97

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