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Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B2
Aufgabe B2.

Die Raute A B C D mit den Diagonalen [ A C ] und [ B D ] ist die Grundfläche einer Pyramide A B C D S , deren Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Raute A B C D liegt. Es gilt: A C ¯ = 10 cm ; B D ¯ = 12 cm ; ∡ C A S = 60 ∘ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B2.1  (3 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide A B C D S , wobei die Strecke [ A C ] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 ∘ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ M S ] .
[Ergebnis: M S ¯ = 8 , 66 cm]

Aufgabe B2.2  (1 Punkt)

Parallele Ebenen zur Grundfläche der Pyramide A B C D S schneiden die Kanten der Pyramide A B C D S in den Punkten E n ∈ [ A S ] , F n ∈ [ B S ] , G n ∈ [ C S ] und H n ∈ [ D S ] , wobei die Winkel E n M A das Maß φ mit φ ∈ ] 0 ∘ ; 90 ∘ [ haben. Die Rauten E n F n G n H n sind die Grundflächen von Pyramiden E n F n G n H n M mit der Spitze M .
Zeichnen Sie die Pyramide E 1 F 1 G 1 H 1 M für φ = 55 ∘ in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Aufgabe B2.3  (2 Punkte)

Berechnen Sie die Länge der Seitenkanten [ E n M ] der Pyramiden E n F n G n H n M in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: E n M ¯ ( φ ) 4 , 33 sin ( 60 ∘ + φ ) ]

Aufgabe B2.4  (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Diagonalen [ E n G n ] der Rauten E n F n G n H n in Abhängigkeit von φ gilt:
E n G n ¯ ( φ ) = 8 , 66 ⋅ cos φ sin ( 60 ∘ + φ ) cm.

Aufgabe B2.5  (5 Punkte)

Die Punkte E n , F n , G n , H n , M und S sind die Eckpunkte von Körpern, die sich jeweils aus zwei Pyramiden zusammensetzen.
Begründen Sie, dass sich das Volumen V dieser Körper wie folgt berechnen lässt:
V = 1 3 ⋅ A Rauten  E n F n G n H n ⋅ M S ¯ .
Berechnen Sie sodann das Volumen V dieser Körper in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 129 , 87 ⋅ ( cos φ sin ( 60 ∘ + φ ) ) 2 cm 3 ]

Aufgabe B2.6  (3 Punkte)

Für den Körper mit den Eckpunkten E 0 , F 0 , G 0 , H 0 , M und S gilt: E 0 M ¯ .
Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens dieses Körpers am Volumen der Pyramide A B C D S .

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