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Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A3
Aufgabe A3.

Das gleichschenklige Dreieck A B C mit der Basis B C ¯ = 12 cm und der Höhe A D ¯ = 9 cm ist die Grundfläche der Pyramide A B C S . Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt D der Strecke [ B C ] mit D S ¯ = 8 cm.

Aufgabe A3.1  (3 Punkte)

Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide A B C S . Dabei soll die Strecke [ A D ] auf der Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung: q = 1 2 ; ω = 45 ∘
Berechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels D A S auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: ε = 41 , 63 ∘ ]

Aufgabe A3.2  (1 Punkt)

Die Strecken [ P n Q n ] mit P n ∈ [ B S ] und Q n ∈ [ C S ] verlaufen parallel zur Strecke [ B C ] . Der Punkt R liegt auf der Strecke [ A S ] mit A R ¯ = 4 cm. Die Punkte P n , Q n und R sind die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken P n Q n R mit der Basis [ P n Q n ] und dem Mittelpunkt M n der Seite [ P n Q n ] . Die Dreiecke P n Q n R schließen mit der Seitenfläche B C S die Winkel S M n R mit dem Maß φ ein.
Zeichnen Sie das Dreieck P 1 Q 1 R für φ = 105 ∘ in das Schrägbild zu 3.1 ein.

Aufgabe A3.3  (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Streckenlängen M n S ¯ und P n Q n ¯ in Abhängigkeit von φ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt:
M n S ¯ ( φ ) = 8 , 04 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + φ ) sin φ cm und P n Q n ¯ ( φ ) = 12 , 06 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + φ ) sin φ cm.

Aufgabe A3.4  (3 Punkte)

Das Dreieck P 1 Q 1 S ist die Grundfläche der Pyramide P 1 Q 1 S R mit der Spitze R und der Pyramidenhöhe h .
Zeichnen Sie die Pyramidenhöhe h in das Schrägbild zu 3.1 ein und ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide P 1 Q 1 S R . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: h = 6 , 01 cm]

Aufgabe A3.5  (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Dreieckshöhe M n R ¯ der Dreiecke P n Q n R in Abhängigkeit von φ gilt: M n R ¯ ( φ ) = 6 , 01 sin φ cm.
Berechnen Sie den Wert für φ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet, so dass das Dreieck P 2 Q 2 R gleichseitig ist.

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