Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik Mathematik I Aufgabe A3 Aufgabe 3

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.3 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Streckenlängen

\bar{M_{n} S}

und

\bar{P_{n} Q_{n}}

in Abhängigkeit von

φ

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet gilt:

\bar{M_{n} S} (φ) = \frac{8, 04 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm und

\bar{P_{n} Q_{n}} (φ) = \frac{12, 06 \cdot \sin (48, 37^{\circ} + φ)}{\sin φ}

cm.

Lösung zu Aufgabe A3.3

Länge einer Strecke

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Gegeben:

ε = 41, 63^{\circ}

\bar{A D} = 9

cm,

\bar{A R} = 4

cm,

\bar{D S} = 8

cm

Gesucht:

\bar{M_{n} S} (φ)

Man betrachtet das Dreieck

R M_{n} S

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

\frac{\sin ∡ M_{n} R S}{\sin φ} = \frac{\bar{M_{n} S}}{\bar{R S}}

Für obigen Sinussatz müssen noch

∡ M_{n} R S

und

\bar{R S}

berechnet werden.

Berechnung von

∡ M_{n} R S

:

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck

A D S

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

\Rightarrow

∡ A S D = 180^{\circ} - (90^{\circ} + ε) = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 41, 63^{\circ}) = 48, 37^{\circ}

∡ M_{n} R S = 180^{\circ} - (φ + ∡ A S D) = 180^{\circ} - (φ + 48, 37^{\circ})

Berechnung von

\bar{R S}

\bar{R S} = \bar{A S} - \bar{A R} = \bar{A S} - 4

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Im rechtwinkligen Dreieck

A D S

gilt:

{\bar{A S}}^{2} = {\bar{A D}}^{2} + {\bar{D S}}^{2} = 9^{2} + 8^{2}

|

\sqrt{}

\bar{A S} = 12, 04

\Rightarrow

\bar{R S} = 12, 04 - 4 = 8, 04

Sinussatz:

\frac{\sin (180^{\circ} - (φ + 48, 37^{\circ}))}{\sin φ} = \frac{\bar{M_{n} S}}{8, 04}

|

\cdot 8, 04

\bar{M_{n} S} = \frac{8, 04 \cdot \sin (180^{\circ} - (φ + 48, 37^{\circ}))}{\sin φ}

Sinus eines Winkels

\sin (180^{\circ} - x) = \sin x

\Rightarrow

\bar{M_{n} S} (φ) = \frac{8, 04 \cdot \sin (φ + 48, 37^{\circ})}{\sin φ}

cm

Gesucht:

\bar{P_{n} Q_{n}} (φ)

Man betrachtet das Dreieck

B C S

Strahlensatz

Vierstreckensatz

Werden zwei Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gilt zwischen den Strecken z.B. folgende Beziehung:

\frac{\bar{A C}}{\bar{A^{'} C^{'}}} = \frac{\bar{B Z}}{\bar{B^{'} Z}}

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{\bar{B C}} = \frac{\bar{M_{n} S}}{\bar{D S}}

\frac{\bar{P_{n} Q_{n}}}{12} = \frac{\frac{8, 04 \cdot \sin (φ + 48, 37^{\circ})}{\sin φ}}{8}

|

\cdot 12

\Rightarrow

\bar{P_{n} Q_{n}} (φ) = \frac{12, 06 \cdot \sin (φ + 48, 37^{\circ})}{\sin φ}

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Länge einer Strecke

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