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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A3


 
Aufgabe A3.4  (3 Punkte)
Das Dreieck P 1 Q 1 S ist die Grundfläche der Pyramide P 1 Q 1 S R mit der Spitze R und der Pyramidenhöhe h .
Zeichnen Sie die Pyramidenhöhe h in das Schrägbild zu 3.1 ein und ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramide P 1 Q 1 S R . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: h = 6 , 01 cm]
 
Lösung zu Aufgabe A3.4

Skizze
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Höhe h einzeichnen:
Schritt einblenden / ausblenden
Volumen einer Pyramide
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Gegeben: R S ¯ = 8 , 04 cm, ∡ A S D = 48 , 37 ∘ φ = 105 ∘
Schritt einblenden / ausblenden
⇒ M 1 S ¯ = 8 , 04 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + 105 ∘ ) sin 105 ∘ cm

⇒ P 1 Q 1 ¯ = 12 , 06 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + 105 ∘ ) sin 105 ∘ cm

Schritt einblenden / ausblenden
V = 1 3 ⋅ G ⋅ h

Die Grundfläche G ist das gleichschenklige Dreieck P 1 Q 1 S .
Schritt einblenden / ausblenden
G = 1 2 ⋅ P 1 Q 1 ¯ ⋅ M 1 S ¯

⇒ V = 1 3 ⋅ 1 2 ⋅ P 1 Q 1 ¯ ⋅ M 1 S ¯ ⋅ h

⇒ V = 1 6 ⋅ 12 , 06 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + 105 ∘ ) sin 105 ∘ ⋅ 8 , 04 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + 105 ∘ ) sin 105 ∘ ⋅ h


Sei H der Fußpunkt der Höhe h auf der Strecke [ D S ] . Zur Berechnung der Höhe h betrachtet man das Dreieck R H S .

Schritt einblenden / ausblenden
sin ∡ A S D = h R S ¯ | ⋅ R S ¯

h = R S ¯ ⋅ sin ∡ A S D = 8 , 04 ⋅ sin 48 , 37 ∘ = 6 , 01

⇒ V = 1 6 ⋅ 12 , 06 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + 105 ∘ ) sin 105 ∘ ⋅ 8 , 04 ⋅ sin ( 48 , 37 ∘ + 105 ∘ ) sin 105 ∘ ⋅ 6 , 01

⇒ V = 20 , 92 cm³

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