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Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe B2
Aufgabe B2.

Die Raute A B C D mit den Diagonalen [ A C ] und [ B D ] ist die Grundfläche einer Pyramide A B C D S , deren Spitze S senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Raute A B C D liegt.
Es gilt: A C ¯ = 14 cm ; B D ¯ = 10 cm; M S ¯ = 5 cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Aufgabe B2.1  (2 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide A B C D S , wobei die Diagonale [ A C ] auf der Schrägbildachse liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 ∘ .

Aufgabe B2.2  (3 Punkte)

Auf der geradlinigen Verlängerung der Kante [ C S ] über den Punkt S hinaus liegen Punkte E n . Die Punkte E n sind die Spitzen von Pyramiden A B C D E n mit den Höhen [ E n F n ] , deren Fußpunkte F n auf der Halbgeraden [ M A liegen. Die Strecken [ M S ] und [ M E n ] schließen Winkel S M E n mit dem Maß φ ein.
Zeichnen Sie die Pyramide A B C D E 1 für φ = 30 ∘ und ihre Höhe [ E 1 F 1 ] in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Für alle Pyramiden A B C D E n gilt: φ ∈ ] 0 ∘ ; 54 , 46 ∘ [ .
Begründen Sie die obere Intervallgrenze.

Aufgabe B2.3  (3 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken [ M E n ] in Abhängigkeit von φ gilt:
M E n ¯ ( φ ) = 4 , 07 sin ( 125 , 54 ∘ + φ ) cm.

Aufgabe B2.4  (3 Punkte)

Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen V der Pyramiden A B C D E n in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 94 , 97 ⋅ cos φ sin ( 125 , 54 ∘ + φ ) cm 3 ]

Aufgabe B2.5  (3 Punkte)

Die Pyramide A B C D E 2 hat das Volumen 210 cm 3 .
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .

Aufgabe B2.6  (3 Punkte)

Die Spitze E 0 der Pyramide A B C D E 0 liegt senkrecht über dem Punkt A .
Berechnen Sie das Maß φ des Winkels S M E 0 .

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