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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe B1


 
Aufgabe B1.4  (3 Punkte)
Unter den Diagonalen [ A n C n ] hat die Diagonale [ A 0 C 0 ] die minimale Länge.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von x und die Länge der Diagonale [ A 0 C 0 ] .
Begründen Sie sodann, dass es unter den Rauten A n B n C n D n keine Raute mit dem Flächeninhalt 3 FE gibt.
 
Lösung zu Aufgabe B1.4

Extremwertproblem
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Gegeben aus 1.3: A n C n ¯ ( x ) = ( 0 , 25 x 2 - x + 2 , 25 ) LE

Gesucht ist das Minimum von A n C n ¯ .

Das Minimum der nach oben geöffneten Parabel A n C n ¯ ( x ) = 0 , 25 x 2 - x + 2 , 25 liegt beim Scheitelpunkt S .
Schritt einblenden / ausblenden
Es genügt, den x -Wert des Scheitelpunktes S zu bestimmen.

x S = - b 2 a

x S = - - 1 2 ⋅ 0 , 25 = 2
Schritt einblenden / ausblenden
A 0 C 0 ¯ = 0 , 25 ⋅ 2 2 - 2 + 2 , 25

⇒ Für x = 2 gilt: A 0 C 0 ¯ = 1 , 25 LE
Flächeninhalt einer Raute
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Gegeben: A = 3 FE, B n D n ¯ = 5 LE
Schritt einblenden / ausblenden
A = 1 2 ⋅ e ⋅ f

3 = 1 2 ⋅ A n C n ¯ ⋅ B n D n ¯

3 = 1 2 ⋅ A n C n ¯ ⋅ 5

3 = 5 2 ⋅ A n C n ¯ | : 5 2

A n C n ¯ = 1 , 2

Wenn es eine Raute mit Flächeninhalt 3 FE gäbe, so hätte die Strecke [ A n C n ] die Länge 1 , 2 .

Da wir aber oben gezeigt haben, dass die Strecken [ A n C n ] mindestens eine Länge von 1 , 25 LE haben, gibt es keine Raute mit Flächeninhalt 3 FE.

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