Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.4 (3 Punkte)

Berechnen Sie die prozentuale Zunahme der Geschwindigkeit dieser Rakete, wenn bei einer Masse von

4, 0

t noch eine weitere Tonne verbrannten Treibstoffs ausgestoßen wird.

Lösung zu Aufgabe B1.4

Exponentielles Wachstum

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Gegeben:

y_{1} = 4, y_{2} = 1

y = 22 \cdot 0, 37^{\frac{x}{5, 54}}

(aus Aufgabe B 1.2 bekannt)

x_{a l t} = 9, 5

(aus Aufgabe B 1.3 bekannt)

Gesucht:

x_{n e u}

und prozentuale Zunahme von

x

Übrige Masse nach Ausstoß einer weiteren Tonne Treibstoff:

y = y_{1} - y_{2} = 4 - 1 = 3

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Der Wert

y = 3

wird in die Gleichung

y = 22 \cdot 0, 37^{\frac{x}{5, 54}}

eingesetzt.

Anschließend wird die Gleichung nach

x

aufgelöst.

3 = 22 \cdot 0, 37^{\frac{x}{5, 54}}

|

: 22

\frac{3}{22} = 0, 37^{\frac{x}{5, 54}}

|

\log_{0, 37}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

0, 37^{\frac{x}{5, 54}}

kann durch den Logarithmus

\log_{0, 37}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8 \Leftrightarrow \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8 \Leftrightarrow x = \log_{2} 8

\log_{0, 37} \frac{3}{22} = \frac{x}{5, 54}

|

\cdot 5, 54

x = 5, 54 \cdot \log_{0, 37} \frac{3}{22}

\Rightarrow

x_{n e u} \approx 11, 1

Prozentuale Zunahme:

\frac{x_{n e u}}{x_{a l t}} = \frac{11, 1}{9, 5} = 1, 17

\Rightarrow

17 %

Antwort:
Die prozentuale Zunahme beträgt

17 %

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Themen dieser Aufgabe:

Exponentielles Wachstum

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