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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.3  (4 Punkte)
Die Punkte F und G sind zusammen mit dem Punkt E ∈ [ A S ] die Eckpunkte des Dreiecks E F G , wobei gilt: E R ∥ A M .
Zeichnen Sie das Dreieck E F G in das Schrägbild zu 2.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide E F G S am Volumen der Pyramide A B D S .
 
Lösung zu Aufgabe B2.3

Skizze
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Seite eines Dreiecks bestimmen
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Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt:

A M ¯ = 4 cm ; M S ¯ = 6 cm ; R S ¯ = 4 , 5 cm
Länge der Seite [ E R ] mit dem Vierstreckensatz bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
E R ¯ R S ¯ = A M ¯ M S ¯

E R ¯ 4 , 5 = 4 6 | ⋅ 4 , 5

E R ¯ = 4 6 ⋅ 4 , 5


⇒ E R ¯ = 3 cm
Volumen einer Pyramide
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Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt: F G ¯ = 6 cm

Volumen der Pyramide E F G S bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
V = 1 3 ⋅ G ⋅ h

V E F G S = 1 3 ⋅ 1 2 ⋅ F G ¯ ⋅ E R ¯ ︸ G ⋅ R S ¯ ︸ h

V E F G S = 1 3 ⋅ 1 2 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 4 , 5

⇒ V E F G S = 13 , 5 cm 3


Aus den vorherigen Teilaufgaben ist bekannt: B D ¯ = 8 cm

Volumen der Pyramide A B D S bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
V = 1 3 ⋅ G ⋅ h

V A B D S = 1 3 ⋅ 1 2 ⋅ B D ¯ ⋅ A M ¯ ︸ G ⋅ M S ¯ ︸ h

V A B D S = 1 3 ⋅ 1 2 ⋅ 8 ⋅ 4 ⋅ 6

⇒ V A B D S = 32 cm 3
Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern
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Prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide E F G S am Volumen der Pyramide A B D S bestimmen:
V E F G S V A B D S = 13 , 5 cm 3 32 cm 3 ≈ 0 , 42

⇒ Der Anteil beträgt ca. 42 % .

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